f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/18 04:02:42
已知:函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围。
函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,
可知x=0是f'(x)=0的根
f'(x)=3x^2+2bx+c=0
c=0
故:f(x)=x^3+bx^2+d
又2是f(x)=0的根,得:4b+d=-8
由于f(x)=0有三个根
设f(x)=(x-m)(x-2)(x-n)
=x^3-(2+m+n)x^2+(1m+2n+mn)x-2mn
则b=-2-m-n, d=-2mn
|m-n|^2=(m+n)^2-4mn=(b+2)^2+2d
=(b+2)^2-2(4b-8)
=(b-2)^2-16
因f'(x)=3x^2+2bx=0的两个根是x1=0, x2=-2b/3
在(0,2) 上减,故-2b/3≥2, b≤-3
故 |m-n|^2≥9
|m-n|≥3
f'(x)=3x^2+2bx+c
f'(0)=c=0
f'(2)=12+4b+c≤0
f(2)=8+4b+2c+d=0
得
b≤-3,c=0,d=-8-4b
f(x)=x^3+bx^2-8-4b=(x-2)(x^2+(b+2)x+2b+4)
|m-n|=√(b^2-4b-12)=√[(b-2)^2-16]≥3
故|m-n|的取值范围为(3,+∞)
已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c ,曲线y=f(x)
f(x)=ax`2+bx+c
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F=max |x^3-ax^2-bx-c|,-1<=x<=3
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